Caractéristiques d'une orbite après échappement

[Titou1384]

Bonsoir à tous !

M'intéressant à la mécanique orbitale depuis à peu près un an, j'essaie me renseigner sur ce qui pourrait me permettre de calculer un peu ce que je veux dans à peu près toutes les situations qui me viennent à l'esprit.

Et m'est venue l'idée de calculer les caractéristiques d'une orbite d'échappement ainsi que celle qui la suit.
Pour être plus clair, mettons qu'on objet en orbite autour d'un astre A vienne de faire une poussée prograde qui le met sur une orbite d'échappement qui va le mener en orbite autour d'un astre B (typiquement, A pour la Terre, B pour le soleil). Comment est-ce que je peux calculer les caractéristiques de l'orbite autour de l'astre B ? Déjà, comment estimer qu'il est passé de sa première orbite à l'autre ? Sachant qu'on veut rester dans un problème à 2 corps, peut-être utilise-t-on la sphère de Hill de l'objet A ? 

Ou alors est-on obligé de passer sur un problème à trois corps ? Est-ce une question de précision, ou bien l'approche avec les problèmes à deux corps est-elle tout simplement incorrecte dans ce cas ? 

Merci pour vos réponses !

[P. Edritch]

Bonjour
L0 tu peux trouver une version simplifiée
http://www.astrosurf.com/rondi/3c/theorie.htm
C'est déjà au delà du programme du lycée et il y a des grosses hypothèses ;
champs non perturbés, orbites circulaires, application "simple" des lois de Kepler.
Le cas général ne "peut" se traiter qu'avec de gros calculs temps réel ( donc ordinateurs ) car il n'existe pas de solution analytique ( ni calculable dans le sens "exacte" ) ..Pour le moment .
Sinon les orbites de Hoffmann sont assez claires non ?  
PS ça ne marche pas comme ça : 2 corps, puis 3 corps , puis N corps ....
bon j'arrète je suis à la retraite ...

[Titou1384]

Effectivement, ce n'est pas au programme du lycée, je me retrouve d'ailleurs souvent coincé sur le plan mathématique dans mes lectures par les dérivées, intégrales, et autres équations différentielles que je n'ai pas encore abordées en première... 

Par contre, pour les orbites de Hoffman (au fait, Hoffman ou Hohmann ? Je trouve les deux sur le net...), je vois pas trop le rapport ? 

Pour les N corps, oui, je sais, en fait, je me demandais juste s'il y avait un moyen d'utiliser les caractéristiques orbitales autour de l'objet A pour déduire celles autour de l'objet B, le tout en restant dans un (ou plusieurs) système à 2 corps... D'après ce que tu me dis, il n'y a donc pas moyen de passer outre un problème à N corps avec N > 2, avec tous les travers mathématiques que ça implique ?

En tous cas, merci beaucoup pour ta réponse, bonne journée !

[Thierz]

Bonjour Titou1384,

Déjà tu peux vérifier la forme de ton orbite autour du premier astre, et faire l'hypothèse simplificatrice suivante : si l'orbite est circulaire ou elliptique, tu es toujours en orbite autour de cet astre. Si par contre ton ellipse s'est transformée en hyperbole, tu n'y es plus.

Je t'avoue que moi aussi j'ai du mal avec les intégrales, donc j'ai fait quelques outils de calcul à base de géométrie plane et de trigonométrie, et ça donne des résultats très sympathiques en simplifiant le système solaire au seul plan de l'écliptique, de quoi s'amuser déjà un bon moment.

[Titou1384]

Bonjour,

Dans le cas dont je parle, "l'orbite" autour de l'astre A a une excentricité supérieure ou égale à 1 (trajectoire parabolique ou hyperbolique). En fait, je n'ai pas trop de problèmes pour décrire l'orbite de l'objet si elle est elliptique. Seulement, ici, une fois sortie de la sphère de Hill de l'astre A, elle retrouvera une trajectoire elliptique... Autour de l'astre B, puisque A est orbite autour de B. 

Et donc je me demandais s'il y avait moyen de déduire les caractéristiques orbitales de l'orbite de l'objet autour de B.

Pour ton simulateur en Java, oui, j'ai vu ça sur un autre post. Vachement intéressant d'ailleurs, tellement intéressant que... Euh, tu n'aurais pas les sources qui traînent quelque part ? :-)


@P. Edritch : Je crains d'avoir du m'arrêter aux Hamiltoniens et aux Lagrangiens... Mes connaissances en mécaniques Hamiltonienne et Lagrangienne sont proche du néant... :-/

[Thierz]

Pour ma part j'ai codé une technique simpliste qui consiste à calculer géométriquement l'ellipse à partir de la position et la vitesse instantanées du corps relativement à B. Attention, avec cette technique, il faut bien se dire que l'orbite calculée à un instant t est rapidement obsolète... L'objet quitte la sphère de Hill de l'astre A, mais ce n'est pas pour autant que A ne va pas encore perturber (même infinitésimalement) son orbite autour de B. Du coup mon programme passe son temps à recalculer l'orbite théorique sur la base de paramètres instantanés, c'est rigolo, ça commence à ressembler à Orbiter, avec modification en temps réel de l'orbite quand on accélère ou on freine :-)

A mon avis il existe des outils et techniques bien plus complexes, prenant en considération beaucoup plus de paramètres, et qui permettent de planifier longtemps à l'avance le trajet qui sera suivi, en intégrant dès le départ les perturbations à venir, mais là, je ne te serai d'aucune aide.

Pour le code source, tu me crois, tu me crois pas, mais tu t'éclateras bien plus à créer le tien qu'à lire le mien. Déjà, ça pousse à comprendre dans le détail comment tout fonctionne, et ça stimule le cerveau de chercher l'implémentation la plus élégante. C'est passionnant et je t'encourage à faire ton propre programme.

[P. Edritch]

TH , Si je ne me trompe ( souvenirs anciens ) , c'est à peu près la méthode pour Apollo : re-calculer en temps réel les trajectoires:  d'où ordinateurs plus puissants, invention d'interfaces ( pas les cartes perforées ..seulement) , avec un modèle à 3 corps simplifié ( les pros du fofo corrigeront :D)
TH et Titou, prendre l'excentricité pour les coniques , c'est super " à la cool " depuis Appolonius mais y 'a un léger problème , on ne PEUT PAS définir un cercle avec foyer et directrices .... la loose  
Donc pas d'hypothèse : orbite circulaire dans ce cas .... Notre écrivain national J . Verne s'est un peu embourbé dans " de la  terre à la lune " puis la suite...
Dans ce topo
http://www.aix-planetarium.fr/ficimages/Coniques.pdf
qui ressemble à un -vieux - cours de TC il y a justement une  subtile arnaque ....BAH NON les "définitions " ne sont pas équivalentes....IL faut faire du "projectif" .... et ben l'espace n'est plus le même
du lourd Desargue/poncelet/Newton ....tiens tiens

[krys]

Pour faire des calculs simplifiés, il faut rester dans un problème à 2 corps avec une solution analytique.
Pour calculer la trajectoire, il faut que tu aies calculé la vitesse (avec les composantes x/y/z) de ta trajectoire hyperbolique qui t'éloigne de ton premier corps. Dans le cas de la Terre avec une SOI d'environ 1 million de kilomètres, on peut considérer que c'est Vinf.
Quand tu atteins la sphère d'influence de ce 1er corps, tu changes de corps central. Tu repars alors du couple position/vitesse que tu as à ce moment-là pour calculer l'orbite autour de ton second corps. Attention à prendre en compte le changement de repère, aussi bien en position qu'en vitesse: si tu as une Vinf de 3km/s dans ton repère lié à la Terre, tu as une vitesse par rapport au soleil très différente (la Terre tournant autour du soleil à environ 30km/s).
Une fois que tu as le couple P/V dans ton repère lié au soleil, il est alors trivial de retrouver l'orbite qui correspond.

[Titou1384]

@Thierz : Ha je te crois volontiers, c'est clair que ça reste pour moi la meilleure manière pour apprendre à "maîtriser" autant qu'on puisse un outil que de coder avec, ça marche comme ça pour un outil informatique, il doit en aller de même pour un outil mathématique.
En fait, si je te demandais ça, c'est surtout par relatif manque de temps... Oui, je sais, ça peut paraître paradoxal à mon âge, mais par exemple, si j'ai mis un peu de temps à répondre, c'est parce que j'ai l'esprit un peu noyé sous mon premier bac blanc... Ceci dit, il est vrai que ça me botterait bien de faire quelque chose comme ça ! 

@P. Edritch : Je pense avoir quelques lacunes sur le sujet... Faut dire que les ellipses sont très peu abordées dans le secondaire, et très tôt... Faudrait que je me renseigne sur le sujet, en tous cas, merci pour le lien du cours, ne serait-ce que pour le vocabulaire spécifique à ces objets géométriques plutôt omniprésents :-)

@Krys : Ha, il y a donc moyen de faire avec deux corps ! Petite question : ceci n'implique-t-il l'introduction d'une erreur ? (EDIT : Question bête, évidemment, si on se prive de l’interaction gravitationnelle due aux autres corps...) Si oui, est-elle quantifiable ? 
Au passage, merci d'avoir parlé de SOI, il me semblait que SOI et sphère de Hill étaient deux synonymes, mais après vérification, il n'en est rien. 
Deux dernières petites questions : quand tu changes de SOI, comment est-ce que tu "injectes" les valeurs du couple P/V précédentes (autour de la Terre) dans celles autour du soleil ? Et surtout, comment tu calcules ce couple P/V relatif au soleil ? 
Et pour trouver cette fameuse orbite qui correspond... Peut-être (certainement) cherchais-je mal, mais je n'ai jamais trouvé de moyen de calculer l'orbite d'un corps à partir de sa position et sa vitesse ! A moins qu'il ne s'agisse des quelques formules que j'ai vues et qu'il s'agisse juste de convertir en coordonnées polaires ? Là je t'avoue que je ne sais pas...

En tous cas, ça commence à me rappeler quand je jouais avec OpenGL, il y avait aussi des matrices avec la position et la vitesse décomposés :-)

[krys]

On fait effectivement des approximations mais quand tu dégrossis une analyse de mission, tu ne regardes pas les perturbations du second ordre.
Pour le changement de corps central, soit tu travailles tout le temps en cartésien et tu auras tout le temps PV (mais quand tu travailles avec juste la force centrale, il faut être motivé...), soit tu changes de représentation (en éléments képlériens/équinoctiaux ou autres) qui te permet de propager ta trajectoire trivialement.
Le mieux dans ton cas est de travailler avec des éléments équinoctiaux car ils sont adaptés aussi bien aux trajectoires elliptiques qu'hyperboliques et ne présentent pas de singularité. Si tu cherches des trucs genre "cartesian equinoctial conversion" sur Google, tu devrais trouver facilement.
Tu as donc le PV de ton satellite dans le repère Terre à la sortie de la SOI. Il faut y ajouter la position/vitesse de la Terre dans le repère héliocentrique. Le plus simple est de considérer dans un premier temps que la Terre décrit une orbite circulaire autour du soleil avec un rayon de 1UA et une période de 365.25j.

Ceci étant dit, vu que tu n'as sans doute pas tous les fondements mathématiques pour attaquer le problème général, tu peux commencer par attaquer le problème dans un simple plan (en 2D), en considérant que tu fais tout dans le plan de l'ecliptique par exemple.
Sur cette page, tu trouveras tout pour calculer P/V (via rayon/vitesse + angles theta/phi) et je pense que c'est accessible pour quelqu'un en 1ère: http://www.bogan.ca/orbits/kepler/orbteqtn.html
Pour la vitesse à la sortie de la SOI:
- Soit tu travailles avec Vinf (ie: theta = theta_max = 1/cos(e)). Vu que la SOI de la Terre est à 1 million de kilomètres, ça n'est pas une grosse approximation...
- Soit tu peux calculer theta < theta_max tel que r = SOI.
De ça, tu trouves Psat_Terre/Vsat_Terre dans le repère géocentrique adapté en (X/Y). Je dis "adapté" car tes axes X/Y sont adaptés à ton hyperbole pour simplifier les calculs.

Après tu prends ton repère héliocentrique qui est juste une translation de ton repère géocentrique.
La Terre a donc des coordonnées du type Pterre = ( 1UA*cos(alpha), 1UA*sin(alpha) ) avec alpha = alpha0 + n*t (n étant le moyen mouvement de la Terre = 2*pi / période).
D'où, après dérivation, la vitesse de la Terre dans ce même repère est du type: Vterre = ( -1UA * n * sin(alpha), 1UA * n * cos(alpha) ).

Puis: Psat_soleil = Pterre + Psat_Terre et Vsat_soleil = Vterre + Vsat_Terre.

Maintenant que tu as Psat_soleil/Vsat_soleil, il est facile de recalculer les caractéristiques de la conique décrivant la trajectoire autour du soleil en faisant attention de prendre maintenant le paramètre gravitationnel "mu=GM" du soleil et non de la Terre.

C'est simplifié mais ça te donne une bonne approche du problème je pense.

A+

[Titou1384]

Hé bien voilà, c'est officiel, ce projet est désormais ma production de TPE, moi qui ne savais pas trop quoi faire ! :-)

Ce qui me laisse environ trois semaine pour fournir quelque chose qui permette de calculer la trajectoire de différents corps avec des couples P/V ou des paramètres orbitaux entre eux !

Bon, bah voilà, y'a plus qu'à ! :cheers:



... Sachant tout de même que je me suis laissé une petite échappatoire au cas où...