Trajectoires suborbitales sans tenir compte des frottements atmosphériques

[Giwa]

Lors d’un sujet à propos de Mars, le problème de la détermination du ∆V nécessaire à une trajectoire antipodale entre les pôles martiens a été posé. Comment résoudre simplement ce problème sachant que la portion de trajectoire elliptique à l’extérieure de la planète passe par les pôles et que l’un des foyers de cette ellipse est le centre de Mars ?
Par extension comment déterminer le ∆V pour un voyage suborbital entre un pôle et l’équateur ?
Y- a-t-il un logiciel sur Orbiter permettant de résoudre rapidement ces deux problèmes ?
Merci d’avance à nos spécialistes de mécanique spatiale.

[lambda0]

Salut

Pas besoin de logiciel, avec quelques considérations sur le moment cinétique, on peut montrer qu'aller d'un pôle à l'autre n'est possible qu'avec une satellisation (si on reste en ballistique évidemment).
La réponse est donc v = Racine(GM/r) = 3.3 km/s (pour Mars)
(à multiplier par 2 pour freiner à l'arrivée!)

A+

[Giwa]

Lors d’un sujet à propos de Mars, le problème de la détermination du ∆V nécessaire à une trajectoire antipodale entre les pôles martiens a été posé. Comment résoudre simplement ce problème sachant que la portion de trajectoire elliptique à l’extérieure de la planète passe par les pôles et que l’un des foyers de cette ellipse est le centre de Mars ?
Par extension comment déterminer le ∆V pour un voyage suborbital entre un pôle et l’équateur ?
Y- a-t-il un logiciel sur Orbiter permettant de résoudre rapidement ces deux problèmes ?
Merci d’avance à nos spécialistes de mécanique spatiale.

Je dois ajouter comme condition -même si c’est assez évident – qu’il s’agit de déterminer la trajectoire de plus faible énergie mécanique ; sinon on peut toujours proposer une orbite circulaire au ras du sol avec un ∆V égal à la vitesse de satellisation à ce niveau . ;)

[lambda0]

Je dois ajouter comme condition -même si c’est assez évident – qu’il s’agit de déterminer la trajectoire de plus faible énergie mécanique ; sinon on peut toujours proposer une orbite circulaire au ras du sol avec un ∆V égal à la vitesse de satellisation à ce niveau . ;)

C'est justement le seul type de trajectoire d'énergie minimale possible (entre les deux pôles), faire un schéma pour s'en rendre compte, mais on peut aussi le montrer plus rigoureusement en exprimant la conservation du moment cinétique entre les deux points de la trajectoire.

A+

[Giwa]

Je dois ajouter comme condition -même si c’est assez évident – qu’il s’agit de déterminer la trajectoire de plus faible énergie mécanique ; sinon on peut toujours proposer une orbite circulaire au ras du sol avec un ∆V égal à la vitesse de satellisation à ce niveau .   ;)

C'est justement le seul type de trajectoire d'énergie minimale possible (entre les deux pôles), faire un schéma pour s'en rendre compte, mais on peut aussi le montrer plus rigoureusement en exprimant la conservation du moment cinétique entre les deux points de la trajectoire.
A+

Merci pour votre réponse qui - en particulier-éclaire mieux la raison du concept d’avion – fusée  antipodal de Eugen Sänger  pour éviter d’être obligé d’atteindre la vitesse de satellisation pour faire seulement un demi-tour !
Par contre pour un quart de tour- par exemple d’un pôle à l’équateur – quelle ellipse minimise l’énergie mécanique ?

[lambda0]

Pour être plus précis, sans faire trop de calculs, je trouve une relation très simple donnant la vitesse en fonction de l'angle de tir, pour aller d'un pôle à l'autre :
v = v0/cos(a)
Avec :
a : angle de tir, mesuré à partir de l'horizon
v0 : = Racine(GM/r) = vitesse minimale de satellisation (orbite circulaire au ras du sol)
Quand l'angle de tir augmente, il faut augmenter la vitesse, et donc l'énergie (ça ne va pas jusqu'à a=90 deg, on atteint la vitesse de libération avant).
Si on tire avec une vitesse inférieure à la vitesse minimale de satellisation, on retombe sur la surface avant d'avoir atteint le pôle opposé, quel que soit l'angle de tir.

Du pôle à l'équateur : pas le temps de faire le calcul aujourd'hui, mais excellent petit exercice pour étudiant ;)
(pendant qu'on y est, autant établir la formule générale, vitesse et angle de tir en fonction de l'arc recherché).

A+

[Giwa]

Je reprends ce sujet pour évaluer l'intérêt de transports suborbitaux sur Mars en particulier pour les vols suborbitaux entre un pôle et l'équateur.

Calcul du ∆V pour un vol suborbital martien pour un quart de tour :

Cette étude sera simplifiée sans tenir compte de l’atmosphère, ni de la rotation de Mars –uniquement dans le but d’obtenir un ordre de grandeur de ∆V.
Ce ∆V sera calculé pour la famille d’ellipses dont l’un des foyers est en O –centre de Mars- et dont l’autre est en F sur le schéma : ce qui correspond au minimum pour le diamètre 2a du grand axe et donc à l’énergie mécanique minimale de ce vol suborbital.



Pour un quart de tour on a : AF = OA/ √2 = R/√2 si R est le rayon de la planète Mars.
Alors on a : 2a = R + R/√2
L’énergie mécanique d’une orbite elliptique est : E = - GMm/ 2a = - GMm/( R + R/√2 )
L’énergie sur le sol avant était :- GMm/R (uniquement en énegie potentielle) est donc :
∆E = GMm√2/[R(2+ √2)] soir un ∆V =√[2 GM√2/R(2+√2)]
Pour Mars on a R=3,4. 106m et M= 6,42.1023kg et avec G= 6,67.10-11uSI, on obtient :
∆V=3,23 km/s
Or la vitesse de satellisation théorique au niveau du sol est donnée par VS = √(GM/R)
Soit : VS =3,55 km/s
Le ∆V nécessaire représente environ 91% de la vitesse de satellisation et si on raisonne en énergie cela correspond à environ 83%
Le gain par rapport à une satellisation-ou ce qui revient au même de pôle à pôle- sans être négligeable n’est quant-même pas considérable

[Giwa]

Il restait le calcul de l’angle tir T.
Dans le cas d’un tir antipodal (de pôle à pôle), cet angle T en faisant abstraction de l’atmosphère et de tout relief est évidemment nul puisque nous sommes alors dans les conditions d’une satellisation au ras du sol ; soit : T=0
Par contre que vaut cet angle T pour un vol suborbital d’un pôle à l’équateur ?




D’après la figure ci-dessus l’équation paramétrique de l’ellipse dans le repère (E, x, y) est :
x = a cos t et y = b sin t
Or tg t = AF/EF=AF/ (OF/2) = 2 car AF = OF Alors t= tg^-1 2 = 63,4°
Dérivons : x’= -a sin t et y’ = b cos t Alors tg t’ = y’/x’=- b cos t / a sin t = -(b/a)cotg 63,4°
Comme a= 2,9.106m et b=2,4.106m alors b/a= 0,83 et tg t’ = - 0,414 et t’ = - 22,5°
Alors T = 45° - 22,5° = 22,5°
Bien sûr un tel résultat ne donne qu’un ordre de grandeur surtout dans le cas d’une fusée où l’impulsion s’étale sur plusieurs minutes. Peut-être dans un monde futur éloigné où l’on utiliserait dans l’atmosphère ténue martienne des canons électromagnétiques pour des vols suborbitaux, on s’en rapprocherait un peu plus

[Giwa]

Terminons cette étude simplifiée pour tout vol orbital d’angle au centre, balayé θ .
L’énergie mécanique est : E = - GMm/2a avec 2a= OA +AF = R + R sin(θ/2)
Alors E = - GMm/ [ R + R sin(θ/2)]
Au départ l’énergie avant le lancement l’énergie était : E0 = - GMm/R
D’où : ΔE = GMm sin(θ/2 ) / [ R + R sin(θ/2)] et ΔV = √{2 GMm sin(θ/2 ) / [ R + R sin(θ/2)] }
Exprimons ensuite l’angle de tir T :



Dans le repère (E,x,y) les équations paramétriques sont : x = a cost et y = b sint . Alors tg t= ay /bx
D’autre part : tg t’ = y’/x’ = - b/(a tg t ) = - b²x/ a²y
Or comme 2a = R(1 + sin (θ/2 )) alors a = R(1 + sin (θ/2 ))/2
D’autre part aussi si c = OE =EF= R/2 alors b² = c² – a² soit : b² =R²/4 – a²
Au lancement x =EF = OF/2 = R cos(θ/2) /2 et y = R (θ/2 )
Les calculs conduisent alors au départ à : t’₀ = tg^-1 {-[2+ sin(θ/2 )]cos (θ/2 )]/[2(1+sin(θ/2 )]}
Et en radian à : T = π/2 - θ/2 + tg^-1 {-[2+ sin(θ/2 )]cos (θ/2 )]/[2(1+sin(θ/2 )]}
Vérifions, que pour θ tendant vers zéro, on retrouve bien les conditions d’un vol parabolique avec T₀ = π/4 soit : T₀ = 45°
En effet alors : T₀ = π/2 + tg-1{- [2/ 2]} =π/2 + tg-1(-1) =π/2 - π/4 = π/4 ou 45°

[lambda0]

Etant donné que la gravité est plus faible que sur Terre et qu'on est dans le vide (en approximation pour Mars), on pourrait se demander si les trajectoires ballistiques sont si intéressantes, ou dans quelles limites elles le sont vraiment.
Sur Terre, un avion bénéficie de la portance de l'atmosphère, et tire son comburant de l'atmosphère, mais d'un autre côté, il consomme de l'énergie pour contrer la résistance de l'air.

Sur Mars ou la Lune, une fois qu'un engin a acquis une vitesse horizontale, faible devant la vitesse orbitale, il la conserve et ne doit fournir qu'une poussée verticale pour contrer la gravité, qui est plus faible que sur Terre.
Pour relier deux points, on peut, au choix :
1. fournir une vitesse importante au départ pour se placer sur une trajectoire ballistique, avec un angle de tir dépendant de la distance à parcourir, en pensant à freiner à l'arrivée
2. se déplacer à faible vitesse parallèlement à la surface. Il faut communiquer beaucoup moins d'énergie cinétique à l'engin, mais contrer en permanence la gravité par une poussée verticale

Dans le cas 1, il n'y a pas de pertes par gravité (on suppose que la durée de l'impulsion initiale est négligable) et toute l'énergie est investie en énergie cinétique.
Dans le cas 2, l'investissement en énergie cinétique est beaucoup plus faible, mais les pertes par gravité sont importantes et proportionnelles à la durée du voyage, donc à la vitesse, et dépendent de l'énergie cinétique investie initialement

Il me semble que la stratégie optimale dépend d'un petit nombre de paramètres : la distance à parcourir, l'accélération de la gravité sur la planète considérée, l'impulsion spécifique du système de propulsion, le rapport de masse.
Ici, stratégie optimale = stratégie minimisant la consommation de propulsif.
On devrait trouver des résultats différents entre la Lune et Mars.

Bonne réflexion ;)

[Giwa]

Tout cela soulève pas mal de questions ?
Comment se déplacer de manière optimale dans le vide ou dans un milieu fluide, et dans tous les cas intermédiaires en fonction de la densité du milieu ?
Et qu’appelle-t-on manière optimale ? Économie d’énergie ou de fluide propulsive …ou un compromis ? Par exemple à grande vitesse d’éjection – cas des moteurs ioniques ou plasmiques, on économise sur la masse de matière éjectée …mais par contre on utilise plus d’énergie. Bien sûr comme de tels moteurs ne sont utilisés qu’une fois arrivé dans l’Espace et que l’on a le temps devant soi, on peut travailler à faible puissance et même si au final on aura utilisé beaucoup d’énergie vu la longue durée de la phase propulsive, on résout le problème en récupérant de l’énergie solaire ou nucléaire.
Tout cela mériterait que l’on ouvre un nouveau sujet sur les modes de déplacement dans le vide sans support …mais comme les vacances se profilent…peut-être qu’à la rentrée, cela sera plus adéquat car j’ai comme l’impression que ce sujet ne se réglera pas en un jour.
Par contre je reviendrai sur un point que vous évoquez – à juste titre : si on adopte un vol balistique, il faut aussi freiner à l’arrivée – si on n’est pas un obus !
Effectivement sur Mars, le problème se pose -et d’ailleurs encore plus sur la Lune.
Sur Mars la solution est peut-être dans des engins à géométrie variable : très profilée au lancement pour minimiser les frottements atmosphériques et le contraire à l’arrivée : style parapluie ou aile pivotante dans l’axe de l’engin au départ et perpendiculaire à l’arrivée.
En tout cas nous sommes partis pour cogiter et nous ne risquons pas l’ennui !
A nos réflexions ! :)

[lambda0]

Pour la compréhension du problème, je pense qu'il vaut mieux dans un premier temps raisonner sur le problème simplifié, sans trop rentrer dans le détail des technologies et cas particuliers.

Dans le cas 2, pour commencer, on peut facilement calculer le temps pendant lequel on peut léviter avec une quantité donnée de carburant (en fait, c'est précisément la signification physique de l'impulsion spécifique exprimée en unité de temps).
T = (ve/g)*ln(M/M0)
avec ve=3000 m/s et M/M0=0.5, on peut contrer la gravité pendant moins d'un quart d'heure sur Mars, mais pendant une demi-heure sur la Lune.
Ensuite, tenir compte de la consommation pour accélérer et freiner, en considérant qu'on est dans le vide et que la vitesse initiale horizontale est conservée (formule de Tsiolkovski)
En posant les calculs, ça doit donner une vitesse optimale maximisant la distance parcourue pour un rapport de masse initial fixé M/M0.
On peut ensuite poser le même calcul pour un vol ballistique, il n'y a que l'accélération et le freinage.

Et comparer pour voir s'il y a un mode de déplacement plus intéressant que l'autre, en fonction de la distance.

A+

[CosmoS]

Terminons cette étude simplifiée pour tout vol orbital d’angle au centre, balayé θ .
L’énergie mécanique est : E = - GMm/2a avec 2a= OA +AF = R + R sin(θ/2)
Alors E = - GMm/ [ R + R sin(θ/2)]
Au départ l’énergie avant le lancement l’énergie était : E0 = - GMm/R
D’où : ΔE = GMm sin(θ/2 ) / [ R + R sin(θ/2)] et ΔV = √{2 GMm sin(θ/2 ) / [ R + R sin(rθ/2)] }
Exprimons ensuite l’angle de tir T :
(...)
Et en radian à : T = π/2 - θ/2 + tg-1 {-[2+ sin(θ/2 )]cos (θ/2 )]/[2(1+sin(θ/2 )]}
Vérifions, que pour r tendant vers zéro, on retrouve bien les conditions d’un vol parabolique avec T0 = π/4 soit : T0 = 45°
En effet alors : T0 = π/2 + tg-1{- [2/ 2]} =π/2 + tg-1(-1) =π/2 - π/4 = π/4 ou 45°

OK (j'apprécie ce type de post et l'effort de présentation ;) ).
Les "bons" ouvrages indiquent aussi cette relation étonnamment simple: tan(T)=e , e étant l'excentricité de l'ellipse donnée par:

e= (1-sin(θ/2))/cos(θ/2))

(remarque: j'ai supposé - pour être cohérent avec tes équations - que θ était l'angle au centre total, et non pas le 1/2 angle au centre comme indiqué sur le schéma; je termine de pinailler en signalant que m est de trop dans la formule du ΔV, car tous ces calculs se font en énergies rapportées à l'unité de masse ;) )
A part ça, tu peux expliquer ta vérification pour le cas θ tendant vers 0 ?
Perso, je ne comprends pas pourquoi on pouvait prédire a priori qu'on obtiendrait T=45° (si j'ai bien compris ce que tu voulais dire), ni le lien avec les conditions d'un vol parabolique (peut-on déjà qualifier cela de vol puisque ΔV=0 ?)

[Giwa]

En effet le vol ballistique parabolique n’est qu’une simplification où on ne tient pas compte de la résistance atmosphérique, mais aussi où l’on considère le champs de gravitation comme uniforme -c'est-à-dire constant en norme …mais aussi en direction et en sens . Or sur de longues distances cette direction change. Finalement ce vol parabolique (on devrait d’ailleurs pour les vols suborbitaux dire vols elliptiques et non paraboliques ) n’est valable que pour un angle balayé θ petit.
Dans ce cas l’équation du mobile sur un sol horizontal et plan s’exprime par :

voir:
http://cours.cegep-st-jerome.qc.ca/203-101-r.f/partie1/chap3/section8.htm


E t y s’annule pour x=0 (évidemment !), mais aussi pour : tgθ₀ – g x /2 (v₀cos θ₀)² = 0
On démontre alors que x est maximum pour θ₀ = π/4.
Alors tgθ₀ =1 et cos θ₀ = √2/ 2 soit cos² θ₀ =1/2 , d’où x _max = v₀² /g
Maintenant pour le calcul de la limite de T pour θ →0 :
T = π/2 - θ/2 + tg^-1 {-[2+ sin(θ/2 )]cos (θ/2 )]/[2(1+sin(θ/2 )]}
Alors T→ π/2 - 0/2 + tg^-1 {-[2+ sin(0/2 )]cos (0/2 )]/[2(1+sin(0/2 )]}
Soit : π/2 - 0+ tg^-1 {-[2+ 0 *1]/[2(1+0)]} ou π/2- tg^-1 {-1}= π/2 - π/4 = π/4 rad ou 45°

[Skyboy]

Terminons cette étude simplifiée pour tout vol orbital d’angle au centre, balayé θ .
L’énergie mécanique est : E = - GMm/2a avec 2a= OA +AF = R + R sin(θ/2)
Alors E = - GMm/ [ R + R sin(θ/2)]
Au départ l’énergie avant le lancement l’énergie était : E0 = - GMm/R
D’où : ΔE = GMm sin(θ/2 ) / [ R + R sin(θ/2)] et ΔV = √{2 GMm sin(θ/2 ) / [ R + R sin(rθ/2)] }
Exprimons ensuite l’angle de tir T :
(...)
Et en radian à : T = π/2 - θ/2 + tg-1 {-[2+ sin(θ/2 )]cos (θ/2 )]/[2(1+sin(θ/2 )]}
Vérifions, que pour r tendant vers zéro, on retrouve bien les conditions d’un vol parabolique avec T0 = π/4 soit : T0 = 45°
En effet alors : T0 = π/2 + tg-1{- [2/ 2]} =π/2 + tg-1(-1) =π/2 - π/4 = π/4 ou 45°

OK (j'apprécie ce type de post et l'effort de présentation ;) ).

Définitivement, il faut demander à actifforum de proposer un module pour écrire des équations comme cela se fait sur wikipédia (le même code qu'en LaTeX) !

Sinon, ce sujet est super intéressant, mais effectivement, avec les équations sous cette forme, c'est imbuvable... et pourtant j'aime les équations...

[Giwa]

Dans le cas 2, pour commencer, on peut facilement calculer le temps pendant lequel on peut léviter avec une quantité donnée de carburant (en fait, c'est précisément la signification physique de l'impulsion spécifique exprimée en unité de temps).
T = (ve/g)*ln(M/M0)
avec ve=3000 m/s et M/M0=0.5, on peut contrer la gravité pendant moins d'un quart d'heure sur Mars, mais pendant une demi-heure sur la Lune.

Justement à ce propos, avec une vitesse d'éjection encore plus grande - celle des moteurs ioniques ou plasmiques- on réduit encore la consommation de "carburant" - terme impropre dans ce cas puisque c'est seulement un éjectât: quelle devrait être d’ailleurs la terminologie adéquate?
Mais ces moteurs n'ont qu'une force propulsive qui restreint leur utilisation à l'Espace lointain ou à proximité des champs de gravitation faibles comme ceux des astéroïdes. Si leur force propulsive était augmentée énormément, leur emploi deviendrait possible pour la lévitation lunaire…mais on est encore extrêmement loin d’y arriver

[lambda0]

Justement à ce propos, avec une vitesse d'éjection encore plus grande - celle des moteurs ioniques ou plasmiques- on réduit encore la consommation de "carburant" - terme impropre dans ce cas puisque c'est seulement un éjectât: quelle devrait être d’ailleurs la terminologie adéquate?

En anglais, "propellant", que je traduis en général par "propulsif" dans ce cas, justement pour éviter de parler d'ergol, propergol ou carburant, qui renvoient à des réactions chimiques.

Mais ces moteurs n'ont qu'une force propulsive qui restreint leur utilisation à l'Espace lointain ou à proximité des champs de gravitation faibles comme ceux des astéroïdes. Si leur force propulsive était augmentée énormément, leur emploi deviendrait possible pour la lévitation lunaire…mais on est encore extrêmement loin d’y arriver

C'est probablement irréalisable, à cause de la masse de la source d'énergie.
On ne considère donc qu'une propulsion chimique classique pour le problème qui nous occupe : la source d'énergie se confond avec la masse de réaction, ce qui permet le rapport poussée/poids indispensable pour léviter et se déplacer à faible vitesse.
Je cherchais surtout à voir à partir de quel point il était plus intéressant de faire des sauts suborbitaux que de se déplacer à faible vitesse, en contrant la gravité en continu par une poussée verticale.

A+

[Giwa]

Dans le cas de Mars la lévitation pourrait se faire à l’air martien après compression– évidemment, vu la faible pression atmosphérique régnant sur cette planète !
Pendant une période suffisante, l’engin stocke de l’air comprimé – et aussi d’ailleurs de l’énergie potentielle - dans des bouteilles avec un compresseur marchant à l’énergie solaire par exemple. Puis on éjecte ce gaz pour léviter et avancer. On se pose plus loin et on recommence par sauts successifs.
Attention toutefois à un problème majeur: l'atmosphère martienne est constitué en majeure partie de CO₂ - ce qui permet certes de conserver le CO₂ à l'état liquide -ou supercritique si on maintient une température supérieure à 31°C - dans les bouteilles avec un système de réchauffage suffisant qui empêche la formation de glace carbonique à l'intérieur - mais surtout lors de la détente la formation de neige carbonique . C'est pourquoi pour des vols suborbitaux à longue portée il faudrait utiliser des propergols comme le méthane CH₄ et le dioxygène O₂ que l'on devrait pouvoir synthétiser sur place à partir du CO₂ et de H₂O;

[Giwa]

Justement à ce propos, avec une vitesse d'éjection encore plus grande - celle des moteurs ioniques ou plasmiques- on réduit encore la consommation de "carburant" - terme impropre dans ce cas puisque c'est seulement un éjectât: quelle devrait être d’ailleurs la terminologie adéquate?

En anglais, "propellant", que je traduis en général par "propulsif" dans ce cas, justement pour éviter de parler d'ergol, propergol ou carburant, qui renvoient à des réactions chimiques.

Mais ces moteurs n'ont qu'une force propulsive qui restreint leur utilisation à l'Espace lointain ou à proximité des champs de gravitation faibles comme ceux des astéroïdes. Si leur force propulsive était augmentée énormément, leur emploi deviendrait possible pour la lévitation lunaire…mais on est encore extrêmement loin d’y arriver

C'est probablement irréalisable, à cause de la masse de la source d'énergie.
On ne considère donc qu'une propulsion chimique classique pour le problème qui nous occupe : la source d'énergie se confond avec la masse de réaction, ce qui permet le rapport poussée/poids indispensable pour léviter et se déplacer à faible vitesse.
Je cherchais surtout à voir à partir de quel point il était plus intéressant de faire des sauts suborbitaux que de se déplacer à faible vitesse, en contrant la gravité en continu par une poussée verticale.

A+

Merci pour vos réponses! En effet le terme "propulsif" est adéquat
Quant à la possibilité de lévitation par propulsion ionique sur la Lune, effectivement cela ne semble guère envisageable...sauf avancée technologique majeure !
Mais on s'éloigne du sujet initial pour un sujet plus vaste que l'on pourrait ouvrir: modes de transport lunaires et martiens..

[Giwa]

...
Pour relier deux points, on peut, au choix :
1. fournir une vitesse importante au départ pour se placer sur une trajectoire ballistique, avec un angle de tir dépendant de la distance à parcourir, en pensant à freiner à l'arrivée
2. se déplacer à faible vitesse parallèlement à la surface. Il faut communiquer beaucoup moins d'énergie cinétique à l'engin, mais contrer en permanence la gravité par une poussée verticale

Dans le cas 1, il n'y a pas de pertes par gravité (on suppose que la durée de l'impulsion initiale est négligable) et toute l'énergie est investie en énergie cinétique.
Dans le cas 2, l'investissement en énergie cinétique est beaucoup plus faible, mais les pertes par gravité sont importantes et proportionnelles à la durée du voyage, donc à la vitesse, et dépendent de l'énergie cinétique investie initialement...

En tout cas c'est un problème de fond que vous posez ...et qui se pose même pour des trajets courts . Mon intuition est tout de même que le saut ballistique optimisé reste le meilleur choix ...mais il faut se méfier des intuitions et les bilans en masse propulsive et en énergie seraient à faire selon les options.

[CosmoS]

En effet le vol ballistique parabolique n’est qu’une simplification où on ne tient pas compte de la résistance atmosphérique, mais aussi où l’on considère le champs de gravitation comme uniforme -c'est-à-dire constant en norme …mais aussi en direction et en sens . Or sur de longues distances cette direction change. Finalement ce vol parabolique (on devrait d’ailleurs pour les vols suborbitaux dire vols elliptiques et non paraboliques ) n’est valable que pour un angle balayé θ petit.

OK, merci (je cherchais vainement la parabole sans changer de modèle, ce qui aurait mené ... "vers l'infini et au delà" puisque c'est une trajectoire de libération ;) ).

[Giwa]

Démonstration que x _max = d est obtenu pour θ =45° dans le cas d'un vol "parabolique"

http://fr.wikipedia.org/wiki/Portée_(balistique)

mode d'emploi: rentrée sur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portée (cas d'homonymie) puis rajouter dans la fenêtre _(balistique)

Cas où y₀ vaut 0 :
La position du projectile est caractérisé par deux équations de mouvement, selon les axes horizontaux et verticaux.
La position horizontale du projectile, x(t), est :
x= v (cosθ) t
Dans la direction verticale, où s'applique la force de pesanteur, elle vaut :
y =v(sinθ)t -1/2 g t²
Le point de chute et d'arrêt de la trajectoire correspond au retour du projectile à la position verticale initiale — ici, 0 :
0 = v(sinθ)t -1/2 g t²
Par résolution d'une équation du second degré, deux solutions existent :
t=0
ou bien
t = 2v(sinθ)/g
La première solution correspond à la position initiale. C'est donc la seconde solution qui permet de déterminer la portée. En introduisant t dans l'équation modélisant la position horizontale, il vient que :
x = 2v²(cosθ) (sinθ)/g
Par application de l'identité trigonométrique :
sin(2x) = 2 sinx cosx
on peut simplifier la solution en :
d = v²(sin2θ)/g
À noter que pour un angle de projection θ égal à 45°, la solution devient :
d=v²/g
On parle alors de « portée maximale » : c'est la raison pour laquelle les lanceurs de javelots, par exemple, s'entraînent à former ce demi-angle droit pour maximiser la distance parcourue.

PS: attention tout de même que ce θ ne correspond pas à celui que j'avais employé lors de mes premiers posts...mais bon, je ne vais pas changer son appellation pour être en correspondance car ce travail serait trop fastidieux!

[lambda0]

Salut

En posant les calculs, je trouve :

1. Cas vol ballistique parabolique
Dmax = (ve*ln(M0/Ms))²/(4*g)

Ms = masse sèche
M0 = masse initiale
ve = vitesse d'éjection

Angle de tir optimal = 45 deg
Il y a un facteur 4 en dénominateur par rapport à ta formule parce que je compte le freinage à l'arrivée.
(v=ve*ln(M0/Ms)/2)

2. Cas vol sustenté
L'engin acquiert une vitesse initiale horizontale, qu'il conserve pendant tout le voyage, en l'absence de frottement atmosphérique, et applique en permanence une poussée verticale pour contrer la gravité.
Et on trouve une formule très similaire au cas 1, à un facteur 2 près :
Dmax = (ve*ln(M0/Ms)²/(8*g)

(démo: Ms = M0*exp(-(2*v+g*T)/Ve),
2*v : pour accélération et freinage
g*T : pour la sustentation
T = D/v, exprimer D en fonction de v, chercher le max de la fonction)

Donc, avec une quantité fixée de carburant, on irait deux fois plus loin en vol ballistique qu'en vol sustenté.
Dans la pratique, c'est à pondérer par le fait que pour le vol ballistique, les propulseurs doivent avoir une poussée supérieure, et peuvent être plus massifs, ce qui doit réduire un peu l'avantage du vol ballistique.
Voir si cet avantage est conservé si on considère un aller-retour (il y a 4 delta V à fournir dans ce cas).

A+

[Giwa]

Merci pour ces calculs ! Par contre je ne comprends pourquoi il faut examiner le cas d'un aller-retour car que ce soit pour l'une ou l'autre option il y aura bien à consommer pour se déplacer de nouveau au retour - que l'on se ravitaille ou non (évidemment il vaudrait mieux se ravitailler)

[lambda0]

Merci pour ces calculs ! Par contre je ne comprends pourquoi il faut examiner le cas d'un aller-retour car que ce soit pour l'une ou l'autre option il y aura bien à consommer pour se déplacer de nouveau au retour - que l'on se ravitaille ou non (évidemment il vaudrait mieux se ravitailler)

Le deltaV a fournir pour l'accélération et le freinage est plus important pour le vol ballistique que pour le vol sustenté, fournir 4 deltaV au lieu de 2 est plus pénalisant.
Pour le vol sustenté, la vitesse de retour pourrait être différente de la vitesse à l'aller.
Les formules ne sont pas linéaires et il ne me parait pas si évident que l'avantage du vol ballistique soit conservé, si c'est le cas, celà demande une petite justification et démonstration.
(je considère évidemment le cas où on emporte tout le carburant au départ, sinon le problème est équivalent à l'aller simple).

A+