lambda0 Mer 22 Fév 2006 - 8:34
Voici le détail du calcul.
On note :
m = masse surfacique [kg/m²]
S = surface de la voile
M = masse du soleil
La voile est soumise à deux forces :
- La pression de radiation
- L'attraction du soleil
On considère un modèle 1D (ce sera justifié plus loin).
La RFD s'écrit :
m.S.d²x/dt² = 2E(x).S/c - G.M.m.S/x²
E(x) étant l'éclairement
On a : E(x) = a/x²
Soit : d²x/dt² = 2.a/(c.m.x²) - GM/x²
Soit d²x/dt²-k/x²=0
Avec k=2.a/(c.m)-GM
En remarquant que dx/dt est facteur intégrant :
(dx/dt)²/2+k/x=A=v0²/2+k/x0 (x0,v0=condition initiale)
On pourrait intégrer cette équation pour avoir la loi du mouvement, mais on cherche seulement la vitesse limite vinf, correspondant à x=inf pour k>0, qui vaut alors : vinf=Sqrt(v0²+2.k/x0)
On justifie maintenant ce modèle 1D :
L'idée est de lancer la voile vers le soleil sur une trajectoire elliptique très serrée. Pour celà, on utilise l'assistance gravitationnelle de Jupiter de façon à annuler la vitesse orbitale de la voile autour du soleil. La voile est lancée vers Jupiter. Après déflexion, depuis l'orbite de Jupiter, la voile "tombe" vers le soleil, sur une trajectoire elliptique dont le périhélie passerait à quelques millions de km du soleil. La voile est maintenue parallèle à la trajectoire de façon à ne pas être freinée par l'éclairement solaire et à gagner le maximum de vitesse. Après le passage du périhélie, la voile est réorientée de façon à recevoir l'éclairement solaire. La trajectoire étant une ellipse très excentrique au moment du passage du périhélie, l'angle entre le vecteur vitesse et la direction du soleil tend rapidement vers 0, ce qui justifie le modèle simplifié 1D.
Numériquement:
E0=1400 W/m² pour x0=150.10^9 m => a=3.15e25 W
G=6.67e-11, M=2e30 kg, m=1e-3 kg/m² -> k=8e19
On suppose que la voile est réorientée à x0=1e7 km du soleil
Ce qui donne Sqrt(2.k/x0)=126 km/s si on avait v0=0
Mais sur une orbite avec un aphélie au niveau de Jupiter, et un périhélie à quelques millions de km du soleil, v0 vaut en réalité plusieurs dizaines de km/s au moment où on réoriente la voile, donc cette valeur de 126 km/s est un minimum.
Dans la pratique, les contraintes sont les suivantes :
- Remarquer que la condition d'échappement s'exprime par k=0, ce qui définit une borne supérieure à la masse surfacique de la voile, de l'ordre de 1.6 g/m² : au dessus de cette valeur, le champ de gravité du soleil l'emporte sur la poussée photonique. Il faudrait aussi tenir compte d'un coefficient de réflexion (pris ici à 1 pour simplifier).
- On aurait intérêt à passer le plus près possible du soleil, mais il y a une limite introduite par la charge thermique. Pour compléter le calcul, il faudrait considérer le coefficient de réflexion de la voile, la capacité thermique, pour calculer l'élévation de température et la comparer au point de fusion du matériau de la voile. A 10 millions de km du soleil, l'éclairement reçu est de 315 kW/m².
J'ai vu sur le site de l'U3P des utilitaires pour naviguer dans le système solaire avec une voile, mais il peut être intéressant de regarder dans quelles conditions il est possible de s'échapper du système solaire de cette façon, et de lancer des sondes précurseurs interstellaires.
Voilà, sous réserve d'erreur de calcul...